Mars 1998 - La Cité Histoire des maths De l'impossibilité de prévoir l'avenir lointain Par Jean-Pierre Kahane *

Voir aussi Jacques Hadamard (1865-1963)

 

Trahir l'analyse pour la géométrie, et avec quel brio ! En l'occurrence, la trahison était payante. Hadamard apportait dans son nouveau domaine, qu'on appelle aujourd'hui la géométrie hyperbolique, les méthodes de l'analyse, et les connaissances toutes récentes sur les ensembles de points qui s'étaient développées à partir de Georges Cantor. Son article traite d'un sujet relatif à des géométries non euclidiennes. Sur certaines surfaces, qui ressemblent localement à des selles de cheval, il n'existe qu'une manière de tendre un fil entre deux points donnés, comme c'est le cas pour le plan, alors que ce n'est pas le cas pour la sphère ou le cylindre. Ce sont de telles surfaces, " à courbures opposées ", que considère Hadamard. Il se posait le problème que voici: à partir d'un point donné de la surface, on lance sur la surface un point matériel dans une direction donnée - sa trajectoire est ce qu'on appelle une " géodésique ", et l'image est celle d'un fil tendu; va-t-il rester à distance finie ou s'en aller à l'infini ? Hadamard montre que cela dépend de la direction donnée D, et de façon tout à fait surprenante: si la géodésique correspondant à la direction D reste à distance finie, il existe des directions D' et D'' aussi voisines qu'on veut de D, telles que la géodésique correspondant à D' s'éloigne à l'infini et que la géodésique correspondant à D'' reste à distance finie. Lorsqu'on perturbe D, on ne peut plus répondre à la question. Autrement dit encore: lorsqu'on donne D avec une certaine approximation, alors, si bonne que soit cette approximation, on ne pourra jamais conclure que la géodésique correspondant à D est bornée. Plus tard, dans l'étude des équations d'évolution, Hadamard appellera cela un problème " mal posé ". Mais ce n'est pas du tout un problème dont l'énoncé est vicieux: c'est un problème dont la solution dépend des conditions initiales, de telle sorte que la moindre variation de ces conditions initiales change la solution radicalement. Ainsi, quelle que soit la précision avec laquelle on connaît les conditions initiales, la solution est imprévisible; et cela n'est pas un aveu d'impuissance, c'est un théorème.

 

Déterminisme et imprévisibilité peuvent coexister Hadamard s'autorise alors un aparté. Est-ce que le problème mathématique de la stabilité du système solaire, réduit au modèle newtonien de n corps soumis à l'attraction universelle, n'est pas un problème mal posé ? Ce problème a occupé pendant deux siècles les meilleurs esprits, et Henri Poincaré vient de la renouveler par ses méthodes de topologie ("analysis situs " à l'époque). L'étude d'Hadamard est relative à un modèle plus simple, mais la question qu'il pose sur le système solaire, à savoir l'imprévisibilité fondamentale de son comportement à long terme, était extrêmement pertinente: cette imprévisibilité a été démontrée en 1970, par le mathématicien russe V. M. Alexeiev. Ainsi, à l'intérieur même d'un modèle mathématique, il peut y avoir à la fois déterminisme (la solution est parfaitement déterminée par les conditions initiales) et imprévisibilité (si bien que l'on connaisse ces conditions, on ne peut pas prévoir le comportement de la solution à très long terme). Dans les mathématiques contemporaines, trois branches au moins sont dans le prolongement direct de cet article d'Hadamard. D'abord, en géométrie, les surfaces " à courbures opposées " (on dit aujourd'hui " à courbure négative ") sont le paradigme de la " géométrie hyperbolique ", que l'on trouve à la base de multiples théories et applications, allant jusqu'à la conception des ordinateurs parallèles.

 

Ensuite, pour la navigation interstellaire, il a fallu développer une nouvelle approche des équations d'évolution. Faute de prévoir avec précision les trajectoires, on est amené à les rectifier constamment. C'est la problématique d'une branche récente de l'analyse, la " théorie du contrôle ". Enfin, le comportement à très long terme des solutions d'une équation différentielle a fait l'objet de progrès étonnants au cours de ce siècle; bassins d'attraction, attracteurs étranges, chaos déterministe sont des termes techniques qui, plus ou moins bien compris, sont passés dans la langue commune. Dans chacun de ces domaines, nous avons en France des représentants de premier plan: Mikhael Gromov (Russe naturalisé français); Jacques-Louis Lions; David Ruella, Jean-Christophe Yoccoz, pour ne citer que quelques-uns. Naturellement, les recherches se mènent sur le plan international; les Soviétiques ont eu sur ces sujets une place éminente; le pôle dominant est aujourd'hui américain. De quoi sera fait, ici comme ailleurs, l'avenir à très long terme ? Ce n'est plus là une question mathématique. Mais les mathématiques peuvent aider, par exemple, à ne pas confondre imprévisibilité et indéterminisme.. * Mathématicien

Jacques Hadamard (1865-1963)

Sa vie s'étend de Napoléon III à de Gaulle, et il a été mêlé à tous les événements de son temps, du siège de Paris en 1970 aux débuts de l'astronautique, en passant par l'affaire Dreyfus, les deux guerres mondiales où il perdit ses trois fils, le combat antifasciste, Munich dont il ressentit la honte, Vichy qui le destitua comme juif, l'Amérique qui l'accueillit entre 1940 et 1944 et le honnit en 1950, la Ligue des droits de l'Homme, la sympathie au communisme, le Mouvement de la Paix. Jeune, il était féru de latin et de grec avant de se tourner vers les mathématiques. Reçu premier aux deux concours de l'Ecole normale et de l'Ecole polytechnique, il opta pour la première, où ses maîtres furent Jules Tannery et Emile Picard. Henri Poincaré était son aîné de 11 ans, Emile Borel, Rémi Baire et Henri Lebesgue ses cadets de 6 à 10 ans. En Allemagne, David Hilbert (1862-1943) était son contemporain. Hadamard a été le premier en France à comprendre la portée de la théorie des ensembles, créée par Georg Cantor entre 1870 et 1880. Son oeuvre a marqué la théorie des fonctions, contribué à créer l'analyse fonctionnelle, renouvelé la théorie des équations aux dérivées partielles. Il a été élu professeur au Collège de France en 1909, membre de l'Académie des sciences en 1912. Son séminaire du Collège de France a été le prototype de tous les séminaires mathématiques permanents, qui constituent aujourd'hui l'une des formes principales d'organisation de la vie mathématique, en France et dans le monde.. retour