Octobre 1997 - Invitation Jean-Pierre Bourguignon: "Ne réveillez pas le mathématicien qui dort" Par Jean-Claude Oliva

Voir aussi Domaines actuels des mathématiques , L'Institut des Hautes Etudes Scientifiques

 

Introduction au réel " Pour le grand public, les mathématiques sont une science morte: on y sait tout, qu'est-ce qu'on peut bien encore y chercher ? L'école, pas seulement en France donne l'impression que le savoir mathématique est achevé, et qu'il n'aurait pas de pertinence pour le monde actuel. C'est doublement faux: d'abord parce que les mathématiques continuent à se développer de façon extrêmement diverse et féconde, ensuite parce que leur impact sur la vie des citoyens grandit de jour en jour, le plus souvent à leur insu. Si la discipline a une dynamique interne très forte (des pans entiers se constituent, de nouveaux sujets apparaissent), c'est cependant une des seules sciences à toujours revendiquer son unité. Bien sûr, de nos jours, plus aucun mathématicien ne peut embrasser toutes les mathématiques. Mais les mathématiciens restent nombreux à être curieux de toutes les mathématiques car ils se rendent compte de la nécessité de garder à l'esprit cette transformation interne permanente qui permet à leur discipline de progresser." Professionnels et simples citoyens " Il y a des indices numériques du fait que des mathématiques nouvelles sont en train de se faire: de 200 chercheurs dans le monde entier au début du siècle, le nombre des mathématiciens du niveau recherche est passé à environ 50 000 aujourd'hui. Cette explosion n'est pas propre aux mathématiques, mais elle prouve qu'il s'y passe aussi quelque chose. Le nombre annuel de publications de recherche, de l'ordre de 5000 dans les années 50, atteint aujourd'hui 60 000 à 70 000 nouveaux articles et chacun d'entre eux contient au moins un résultat nouveau, et parfois plusieurs. C'est un rythme de production énorme ! Tout cela concerne les mathématiciens professionnels. Mais il ne faut pas oublier l'autre dimension, essentielle pour un public plus large: la présence des mathématiques dans la vie de tous les jours, toujours plus importante, avec le développement des sociétés industrielles et leur avatar, la société de communication. Aussi chaque citoyen a besoin d'avoir une idée précise de ce que sont les mathématiques et de ce qu'elles ne sont pas, de ce qu'elles peuvent faire et ne pas faire."

 

Physiologie d'un chercheur " Dans le champ des mathématiques, ma spécialité est la géométrie, avec une certaine dose d'analyse et un intérêt pour les problèmes mathématiques posés par la physique théorique. Dans le monde, il y a un petit noyau de gens qui travaillent sur des sujets proches des miens, avec lesquels j'échange constamment des informations. Pratiquement tous les jours, je reçois un courrier électronique d'un collègue qui m'envoie soit un article, soit un commentaire, soit une question à laquelle je réponds si je peux ou sinon je lui indique une autre personne mieux à même de répondre ou je commence à réfléchir sérieusement à la question... Les sujets qui m'intéressent consistent à construire des objets géométriques ayant certaines propriétés particulières, souvent motivées par des considérations issues de théories physiques, mais qui ont aussi leur beauté mathématique propre. Au commencement, l'approche est très peu formalisée, aussi intuitive que possible. En faisant intervenir telle approximation, tel calcul auquel personne n'a pensé avant, on peut se mettre à comprendre ce qu'on ne comprenait pas jusque là. Une idée peut naître parce que l'on est une des rares personnes connaissant un sujet donné à avoir une autre culture et qu'on a vu fonctionner tel procédé dans un autre contexte; en l'important dans son propre contexte, des résultats nouveaux vont sortir de ce rapprochement. D'autres fois, c'est une idée vraiment personnelle ou un calcul particulier révélant une nouvelle caractéristique qui est la clef. Si les mathématiques visent à dire l'universel et le général, la recherche mathématique ne fonctionne pas avec des idées universelles tout de suite; on part souvent d'une situation concrète qui, elle-même, est déjà très spéciale mais contient suffisamment de " chair " pour qu'une fois celle-ci bien comprise, on ait compris beaucoup plus que le mécanisme à l'oeuvre dans un calcul très précis. Si un phénomène tout à fait général apparaît à telle étape du calcul, on sera capable de le transposer ailleurs. Mais il peut s'agir d'illusions qui tombent quand on bâtit la vraie démonstration analytique. En vérifiant que chaque étape est bien correcte, il est assez fréquent qu'on s'aperçoive qu'il y a un " trou " et qu'il est indispensable d'ajouter des idées pour arriver au bout de la démonstration. La découverte n'a presque jamais un cheminement linéaire."

 

Le songe du mathématicien " L'appareillage se réduit quelquefois à presque rien: il suffit d'être concentré et tranquille. Pour les gens qui entourent les mathématiciens, ceux-ci apparaissent souvent comme " bizarres ": vous semblez inoccupé, on vient vous poser une question anodine et l'effet de la distraction peut être désastreux; alors vous râlez... Selon une anecdote connue, il n'y a rien qui ressemblerait plus à un mathématicien qui travaille qu'un mathématicien qui dort ! Après cette partie exploratoire, on peut se rendre compte que pour traiter la question, il faut apprendre, aller à la bibliothèque " butiner " des livres qu'on lira rarement du début à la fin, ou encore consulter une base de données bibliographiques sur Internet, puis vient la phase de construction d'une démonstration, plus rationnelle, plus linéaire, où il ne faut rien laisser de côté. Si besoin est, on fera appel à des collègues extérieurs. Quelquefois, leur réponse bouche votre lacune, d'autres fois il faut l'adapter, ou bien encore ça ne marche pas du tout car il y a une hypothèse que vous ne pouvez pas reprendre dans vos conditions. C'est une succession de tentatives, d'échecs, de nouveaux essais, etc." Monsieur le directeur " J'assume la fonction de directeur depuis trois ans, et mon mandat est a priori de huit ans. C'est à la fois un travail scientifique et administratif: si c'est à moi qu'il revient de nommer les professeurs permanents, je dois aussi gérer l'institut et notamment assurer les moyens financiers de cette petite entreprise. Il a le statut d'une fondation reconnue d'utilité publique. En même temps, j'enseigne à l'Ecole polytechnique où je passe trois demi-journées par semaine: je l'ai voulu ainsi car le contact avec les étudiants est très important pour moi, et j'aime enseigner. Partout dans le monde, les mathématiciens chercheurs vivent dans des structures proches de l'enseignement. C'est aussi un bon moyen de m'assurer quelques moments d'isolement indispensable pour garder une activité scientifique propre: en effet, pour continuer à fonctionner comme un mathématicien, j'ai besoin de continuer mes propres travaux, de préparer des exposés de recherche, et de publier. Concilier les deux est loin d'être facile." Le goût des mathématiques " En ce qui me concerne, le déclic en direction des mathématiques s'est produit en classe de terminale. J'avais de bons résultats scolaires, mais c'est surtout un professeur, qui n'était pas considéré comme un bon professeur car il ne faisait pas bien réussir le bac, qui m'a donné le goût de cette discipline. La classe qui m'a confirmé dans cette orientation a été la classe de mathématiques supérieures qui a été une période de grand bonheur, grâce notamment au talent du professeur de mathématiques. Ensuite, à l'Ecole polytechnique, Gustave Choquet m'a vraiment décidé à en faire un métier. Lorsque je remonte en arrière, j'ai la conviction que ce goût s'est en fait forgé tout au long de ma vie scolaire. Je suis resté dans le même établissement scolaire à Lyon, de la classe de CE2 jusqu'à la première. Issu d'un milieu modeste, où le travail bien fait était la règle absolue, j'ai vécu à l'école secondaire des années d'intense bonheur grâce aux enseignants que j'y ai rencontrés: j'apprenais des tas de choses sans travailler beaucoup, j'étais heureux d'être à l'école. Je crains que ce ne soit souvent plus le cas aujourd'hui. La différence provient à mon avis du système d'évaluation, où les notations à tendance normative dominent. L'idée d'une contribution personnelle, d'une initiative, est trop souvent assimilée à une pratique élitiste. Il est dès lors hors de question par exemple de donner des sujets un tant soit peu originaux au risque de dérouter les élèves. Or les mathématiques sont à l'opposé de l'apprentissage par coeur: il s'agit d'apprendre à raisonner, à avoir des opinions sur ce qui est vrai, et sur ce qui est faux. Le travail scientifique ne peut se réduire à des problèmes-types. Les élèves doivent le savoir. Cette dimension non-normative de la formation scientifique me paraît très importante. C'est vrai non seulement pour les bons élèves mais pour une tranche beaucoup plus large. Tous les jeunes ont besoin de défis à relever. Pour réussir, l'école ne doit pas les ennuyer. J'ai aussi vécu très positivement le fait que des professeurs utilisent des élèves comme aides dans la classe, comme relais de l'enseignant: c'était une chose courante alors qu'aujourd'hui la séparation des rôles semble être devenue absolue." L'école et la vie " Autant qu'un lieu d'apprentissage l'école doit être un lieu de culture, de compréhension du monde. La crainte du chômage pèse de nos jours très lourd: un jeune - qu'il se décarcasse ou non - a des chances minimes d'obtenir rapidement un emploi qui lui convienne. Mais attention à l'idée répandue de travailler très tôt en entreprise pour acquérir des outils plus efficacement. S'il est vrai que certains élèves assimilent mieux dans ce contexte, d'autres connaissances nécessitant un du s'acquièrent de façon systématique quand on est jeune mais beaucoup plus difficilement plus tard. Il faut se donner le temps à l'école et ne pas tout brusquer."

 

Les chemins de l'innovation " Le savoir scientifique n'est pas désincarné: il fournit des outils pour comprendre le monde qui nous entoure. La science est en permanence à l'oeuvre autour de nous, cachée sous des dehors utilitaires. Les citoyens doivent en avoir conscience et comprendre les mécanismes par lesquels elle transforme la société. Bien souvent, même ceux qui doivent prendre des décisions ne comprennent pas cette mécanique. Il n'y a aucun automatisme engendrant de l'innovation à partir d'une découverte, par exemple: il faut que suffisamment de gens soient imprégnés de certaines connaissances pour que des choses deviennent possibles au niveau de la société. S'il avait fallu juger du devenir de l'informatique à partir des premières machines de von Neumann, on aurait abandonné tout de suite. Aussi, il ne faut pas se laisser obnubiler par les retombées pratiques à court terme. Le savoir est dynamique, il se développe par appropriation de gens divers dans la société avec des objectifs et des stratégies elles-mêmes diverses. La difficulté ne provient pas tant de l'accumulation des connaissances mais de ce qu'un nombre insuffisant de personnes en ont la maîtrise." Les mécomptes du marché " Dans la plupart des pays, on veut pouvoir tenir une comptabilité immédiate, comme dans une épicerie. Quand il s'agit de l'avenir de l'humanité, il faut des visées plus ambitieuses. Actuellement, parmi les pays industrialisés, le Japon est presque seul à miser sur le long terme en investissant des sommes colossales dans la recherche à moyen terme. A l'inverse, la capacité de produire du savoir de la Grande-Bretagne a été dramatiquement affectée par les coupes budgétaires, les mises à la retraite anticipées et le démantèlement d'équipes de bonne qualité, etc. Le tissu a ainsi été déchiré. Bien sûr, la science a besoin d'être évaluée, et doit accepter les remises en question. Mais l'idée d'un pilotage mécanique par la demande ou par les industriels est radicalement fausse. Dans le développement récent, la plupart des nouveaux produits n'ont pas été demandés par le public mais induits par une découverte. Ils ne répondent pas directement à une demande du marché. C'était le problème qu'aurait rencontré le précédent gouvernement français qui voulait qu'au moins 20% de l'effort de recherche en France portât sur sept programmes nationaux définis par lui sans une réelle consultation des scientifiques. A la base, il y a toujours la même erreur d'analyse sur la façon dont la science change la société. En bien ou en mal, c'est à la société tout entière de répondre: pour cela, il est indispensable de donner aux citoyens une compréhension minimale des sciences et de leurs développements les plus récents."

 

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Domaines actuels des mathématiques

Il est traditionnel d'identifier dans les mathématiques quatre domaines: la géométrie, science des formes, l'algèbre, manipulation des formules, aujourd'hui renouvelée par l'informatique et l'intérêt renforcé pour les algorithmes (nom savant des procédés de calcul), et deux branches moins visibles pour le grand public; l'analyse, étude des limites, des estimations, des fonctions et de leur continuité, et les probabilités et statistiques, qui étudient les phénomènes aléatoires et stochastiques. Ces quatre champs sont mêlés les uns aux autres, alors qu'auparavant on aurait pu être tenté d'ignorer les rapports qu'ils entretiennent entre eux. Les rapprochements entre ces branches ont toujours été de grands événements, comme le fut l'introduction des nombres dans la géométrie par Descartes au XVIIe siècle, un " acte de violence " comme le dit Hermann Weyl. Un exemple récent de ces rencontres inattendues est l'interface géométrie-statistique, une des frontières actuellement actives. J.-P. B. retour

L'Institut des Hautes Etudes Scientifiques

L'IHES est particulièrement atypique. Concentré sur les mathématiques et la physique théorique, depuis sa création il y a près de quarante ans par Léon Motchane, un industriel passionné de science, tout concourt à en faire un des meilleurs au monde. C'est l'Institute for Advanced Study à Princeton, fondé dans les années 30 avec Einstein comme premier professeur, et aussi von Neumann, et ensuite Oppenheimer, qui a servi de modèle à l'IHES. Il s'est installé à Bures-sur-Yvette au début des années 60. Actuellement le gouvernement français finance l'institut à 60% par le biais d'un contrat quadriennal, mais il demeure une structure privée avec un conseil d'administration que préside en ce moment Philippe Lagayette, directeur général de la Caisse des dépôts et consignations. En dehors de la France, dix pays participent à son financement, huit européens, les Etats-Unis et le Japon. L'IHES comprend un petit nombre de professeurs permanents: trois mathématiciens, trois physiciens, tous de niveau exceptionnel comme il y en a peu dans le monde. Une fois recrutés, ils sont absolument libres de faire ce qu'ils veulent et n'ont aucune contrainte sur le choix de leur sujet de recherche. Cela peut apparaître comme un luxe extraordinaire, mais en réalité les gens travaillent ici comme des fous. Il n'ont pas de cours à faire mais ils animent des réunions, travaillent avec d'autres. L'IHES reçoit un flux de visiteurs qui constitue une stimulation fantastique: environ 200 chercheurs nous rendent visite tous les ans pour des durées variables, deux mois et demi en moyenne. Ils sont sévèrement sélectionnés et très divers car chacun vient d'un endroit donné, avec une histoire personnelle et une culture mathématique ou physique particulière. On leur laisse aussi une totale liberté qui leur permet de se ressourcer, mais aussi de profiter des discussions. Des séminaires sont organisés, mais en petit nombre, et les chercheurs jouissent du calme nécessaire pour pouvoir écrire et rencontrer d'autres chercheurs. La salle à manger est organisée pour qu'ils soient au coude à coude avec du papier, des crayons sur les tables. Le déjeuner dure environ une heure, précisément pour rendre ces échanges fructueux. Les professeurs permanents " accrochent " les visiteurs pour qu'ils s'expriment. L'heure du thé constitue aussi un moment d'échanges. Le lieu incite à la sérénité: il s'agit d'une sorte d'abbaye laïque ! Les domaines d'activité particuliers des professeurs permanents sont sans doute plus représentés que les autres, mais nous invitons délibérément des gens qui travaillent dans des domaines qui ne sont pas bien développés ici. Beaucoup d'instituts de recherche mathématique dans le monde ont été créés récemment avec, comme mode de fonctionnement, l'organisation de semestres ou de trimestres thématiques; nous préférons rester généralistes, même si des regroupements peuvent s'opérer à l'occasion de la visite d'un chercheur. Nous souhaitons surtout avoir des scientifiques dans leur période de créativité maximale, d'où le fait que l'IHES est connu pour prendre des risques en recrutant comme professeurs permanents de jeunes chercheurs extrêmement prometteurs. L'excellence est le critère premier. J.-P. B. retour